将军饮马——一点两线模型

作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂，连接 P₁P₂ 分别交 OA、OB 于 M、N，则 △PMN 周长 = P₁P₂（最短）。由对称 ∠P₁OP₂ = 2∠AOB = 100°，△P₁OP₂ 为等腰（OP₁=OP₂=OP），底角 = (180°−100°)/2 = 40°，故 ∠MPN = 80°。⚠️ 易错：把 ∠MPN 当成 2∠AOB=100°（那是顶角）。

AE 的垂直平分线 ⇒ NA = NE，BN = BN。当 A、N、F（F 为 B 到该平分线的垂足）共线时 BN 最小，即为点 B 到该线的最短距离 = 菱形在 60° 下的高 = 2·sin60° = √3。⚠️ 易错：把最小值当成对角线长 2。

由旋转得 N′ 在平行于 AB、距 AB 为 5 的直线上运动。作 M 关于该直线的对称点 M′，周长最小 = BM + BM′。BM = 5，MM′ = 10，BM′ = √(5²+10²) = 5√5，故最小值 = 5+5√5。⚠️ 易错：漏掉 BM=5 只写 5√5。

作 A 关于直线 l（y=2）的对称点 A′(3,4)，PO + PA = PO + PA′ ≥ OA′ = √(3²+4²) = 5。⚠️ 易错：把 l 当成 x 轴对称。

抛物线 y = ½x² − 4x + 6，对称轴 x = 4，A(0,6)，B(2,0)。作 A 关于 x=4 的对称点 A′(8,6)，下移 3 得 A″(8,3)；直线 A″B：y = −½x + 7 与 x=4 交于 C(4,1)。⚠️ 易错：把 CD=3 用反方向。

点 C 到直线 AB 的垂线段最短。AB = 5，面积法：AC·BC = AB·h ⇒ h = (3×4)/5 = 12/5。⚠️ 易错：把 CD 最小当成中线长。