初中数学 · 动态几何实验室
维维亚尼模型
拖动 D 沿底边滑动 —— 到两腰的距离之和永远是定值
DE + DF = 腰上的高
—— 面积法出定值
① 实验台（基础）
② 等边内点版（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·河北石家庄中
★★★☆☆
如图，等腰三角形
ABC
中，
AB
=
AC
，点
D
在底边
BC
上，
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
。若腰上的高
h
= 8，则
DE
+
DF
= ______。
实验台 · 等腰三角形底边上一点：到两腰距离之和为定值
拖动 D 沿底边滑动（或拖 A 改形状）—— 盯住 DE + DF：永远等于腰上的高
⇄ 拖 动 我
h=8
↺ 重置
📐 显示腰上的高
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
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⏸ 暂停
下一步 ›
✕ 退出
◈ 实时观测
DE（到 AB 距离）
—
DF（到 AC 距离）
—
DE + DF
—
腰上的高 h（C 到 AB）
—
连 AD 一刀切，面积拆两块
DE + DF = h（定值）
D 在底边上怎么滑，DE + DF 永远等于腰上的高
口诀：面积一拆两等腰，距离之和等于高
拓展 · 完整维维亚尼：等边三角形内一点到三边距离和 = 高
拖动 P 在三角形内任意跑 —— 三段距离之和永远等于三角形的高
📐 显示高
▶ 自动演示
↺ 重置
边长
小
中
大
◈ 实时观测
PD（到 BC）
—
PE（到 AB）
—
PF（到 AC）
—
PD + PE + PF
—
三角形的高 h
—
等边三边等价：三段距离和 = 高
◈ 面积法
连 PA、PB、PC ⟹
S△ABC = S△PBC + S△PAB + S△PAC
三边相等 = a ⟹ ½·a·h = ½·a·(PD+PE+PF)
∴ PD+PE+PF = h ✓（与 P 位置无关）
PD + PE + PF = h
P 在三角形内任意跑，三个小三角形面积拼回大三角形
口诀：面积三块拼整体，三高合一恒定值
中考真题（冲刺）
围绕「维维亚尼：等腰底边点到两腰距离和 = 腰上的高（面积法）」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
定值识别
★★☆☆☆
2024·中考专项训练
等腰 △
ABC
（
AB
=
AC
），
D
在底边
BC
上滑动，
DE
⊥
AB
、
DF
⊥
AC
。则
DE
+
DF
（ ）
A．随 D 位置变化
B．恒等于腰上的高（定值）
C．恒等于底边上的高
D．恒等于 AB
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：B
面积法：
S
△
ABC
= ½·
AB
·
DE
+ ½·
AC
·
DF
= ½·
AB
·(
DE
+
DF
) ⟹
DE
+
DF
= 腰上的高，与
D
无关。
第 2 关
填空题
直接计算
★★☆☆☆
2024·中考专项训练
等腰 △
ABC
中
AB
=
AC
= 10，底边
BC
= 12，
D
为
BC
上一点，
DE
⊥
AB
、
DF
⊥
AC
。则
DE
+
DF
= ______。
A
B
C
D
E
F
DE
DF
10
h=?
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：9.6
底边上的高 =
√
(10²−6²)
= 8，
S
= ½×12×8 = 48；
DE
+
DF
= 2
S
/
AB
= 96/10 = 9.6。
第 3 关
填空题
等边版
★★★☆☆
2024·中考专项训练
边长为 6 的等边三角形内一点
P
到三边距离分别为 1、2、
x
，则
x
= ______（填小数，保留 2 位）。
A
B
C
P
D
E
F
1
2
?
a=6
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：2.20（3
√
3
−3 ≈ 2.196）
高
h
= 6×
√
3
/2 = 3
√
3
≈ 5.196；
x
= 5.196−1−2 = 2.196 ≈ 2.20。
第 4 关
填空题
反求面积
★★★☆☆
2024·中考专项训练
等腰 △
ABC
中
AB
=
AC
= 5，
D
在
BC
上，
DE
= 3、
DF
= 4（分别垂直两腰）。则 △
ABC
的面积 = ______。
A
B
C
D
E
F
3
4
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：17.5
S
= ½·
AB
·(
DE
+
DF
) = ½×5×7 = 17.5。
第 5 关
判断说理
方法选择
★★★☆☆
2024·中考专项训练
证明「等腰三角形底边上一点到两腰距离之和为定值」，最简洁的方法是（ ）
A．面积法：拆分 △ABC 为两个小三角形
B．建立坐标系硬算
C．测量归纳
D．反证法
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A
连
AD
，
S
△
ABC
=
S
△
ABD
+
S
△
ACD
，两腰相等即提出 ½·
AB
，一步出结论。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2024·中考专项训练
等腰 △
ABC
中
AB
=
AC
= 10，底边
BC
= 12，
D
在
BC
上，
DE
⊥
AB
、
DF
⊥
AC
。
(1) 底边上的高 = ______；
(2) △
ABC
的面积 = ______；
(3)
DE
+
DF
= ______。
A
B
C
P
D
E
F
4
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
查看答案与解析
答案：(1) 8 (2) 48 (3) 9.6
(1)
√
(10²−6²)
= 8；(2) ½×12×8 = 48；(3)
DE
+
DF
= 2
S
/
AB
= 96/10 = 9.6（维维亚尼：等于腰上的高）。
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