初中数学 · 动态几何实验室

角分线模型

拖动 M 与 E —— 角平分线是角的对称轴：翻折出全等，ME = MF

CE = CF + M 在平分线上 ⟹ ME = MF △MCE ≌ △MCF ｜拓展：距离相等 + 平行出等腰

模型同源真题 2024·山东济南 ★★★☆☆

如图，CD 平分 ∠ACB，点 E、F 分别在 CA、CB 上，且 CE = CF。点 M 在 CD 上，若 ME = 7，则 MF = ______。

实验台 · 角平分线是角的对称轴

拖动 M（沿平分线）与 E（沿 CA）—— F 自动镜像（CE = CF），盯住 ME 与 MF 永远等长

◈ 实时观测

CE 与 CF—

ME—

MF—

ME − MF—

S(△CEM) / S(△CFM)—

CE = CF + M 在平分线上 ⟹ △MCE ≌ △MCF ✓

CE = CF，M 在平分线上 ⟹ ME = MF

角平分线是角的对称轴：沿 CD 翻折，E 与 F 重合、M 不动 ⟹ △MCE ≌ △MCF（SAS）—— 线段、面积全部对应相等

口诀：角分线上任一点，两边截等连一连；全等一正线段等，翻折转移最好使

拓展 · 双垂距离相等 + 平行出等腰

左：M 到两边的垂线段 MP、MQ 永远等长；右：GM∥CB 交 CA 于 G ⟹ △CGM 恒等腰（CG = GM）

◈ 实时观测

MP（M 到 CA 距离）—

MQ（M 到 CB 距离）—

CG（平行截出）—

GM—

MP = MQ 且 CG = GM ✓

MP = MQ ｜ GM∥CB ⟹ CG = GM

距离版：角平分线上的点到两边距离相等（判定反过来也成立）；平行版：∠GCM = ∠GMC（内错角+平分）⟹ 等腰

口诀：分线点到两边距，一样长短不用疑；分线遇上平行线，等腰三角自然现

中考真题（冲刺）

围绕「角分线：对称轴 ⟹ 全等转移」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题全等判定 ★★☆☆☆

2023·扬州

CD 平分 ∠ACB，M 在 CD 上，E 在 CA 上、F 在 CB 上且 CE = CF。判定 △MCE ≌ △MCF 的依据是（　）

A．SAS

B．SSS

C．ASA

D．HL

答案：A（SAS）

CE = CF（已知），∠ECM = ∠FCM（平分），CM 公共 —— 两边及其夹角。

第 2 关填空题结论应用 ★☆☆☆☆

2023·扬州

角分线构型中，CE = CF = 5，ME = 3，则 MF = ______。

答案：3

△MCE ≌ △MCF ⟹ 对应边 MF = ME = 3。

第 3 关填空题距离性质 ★★☆☆☆

2023·扬州

M 在 ∠ACB 的平分线上，M 到 CA 的距离为 2，则 M 到 CB 的距离 = ______。

答案：2

角平分线上的点到角两边距离相等 —— 这是角分线最常用的性质（逆定理也成立：到两边等距 ⟹ 在平分线上）。

第 4 关单选题平行出等腰 ★★★☆☆

2023·扬州

CD 平分 ∠ACB，M 在 CD 上，过 M 作 GM∥CB 交 CA 于 G，则 △CGM 是（　）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．形状不确定

答案：A（等腰三角形）

GM∥CB ⟹ ∠GMC = ∠MCB（内错角）= ∠GCM（平分）⟹ CG = GM。「角分线 + 平行线 ⟹ 等腰」是中考高频套路。

第 5 关填空题平行出等腰 ★★★☆☆

2023·扬州

∠ACB = 60°，CD 平分，GM∥CB 交 CA 于 G，若 CG = 4，则 GM = ______。

答案：4

∠GCM = 30° = ∠MCB = ∠GMC（内错角）⟹ △CGM 等腰 ⟹ GM = CG = 4。

第 6 关证明题性质证明 ★★★☆☆

2023·扬州

CD 平分 ∠ACB，M 在 CD 上，MP⊥CA 于 P，MQ⊥CB 于 Q。
求证：MP = MQ。

证明

Rt△MPC 与 Rt△MQC：∠MPC = ∠MQC = 90°，∠MCP = ∠MCQ（平分），CM 公共 ⟹ △MPC ≌ △MQC（AAS）⟹ MP = MQ。证毕。