初中数学 · 动态几何实验室

中垂线模型

中垂线上的点到线段两端等距 —— 一条「等距搬运」的传送带

P 在 AB 的中垂线上 ⇔ PA = PB 性质 ↔ 判定

模型同源真题 2024·云南昆明 ★★☆☆☆

如图，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，D 是 AB 的中点。若 PA = 13，AD = 5，则 PD = ______。

实验台 · 中垂线上的点

拖 A、B 改线段（中垂线自动跟随），P 任意拖 —— 什么时候 PA = PB？把 P 吸到中垂线上看看

◈ 实时观测

PA ｜ PB—

|PA − PB|—

D（中点）—

PD—

PD 与 AB 夹角—

P 的位置—

中垂线上的点到两端等距

P 在 AB 中垂线上 ⇔ PA = PB

性质：线上的点到两端等距（△PDA ≌ △PDB）；判定：到两端等距的点必在这条线上 —— 互逆共生

口诀：中点加垂直，两端一样距

实验台 · △AEF 周长 = BC

AB、AC 的中垂线分别交 BC 于 E、F —— 拖 A 改变三角形，按「转移演示」看 AE、AF 翻折到 BC 上

◈ 实时观测

AE ｜ BE（青）—

AF ｜ CF（粉）—

EF（金）—

△AEF 周长—

BC—

周长 = BC ✓

△AEF 周长 = AE + EF + AF = BC

中垂线是传送带：AE 换成 BE，AF 换成 CF —— 三段折线周长，转眼拼成一条 BC

口诀：中垂交底边，周长搬一线

中考真题（冲刺）

围绕「中垂线 ⇔ 等距搬运」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2024·广西

如图，P 是线段 AB 中垂线上一点，PA = 5，则 PB =（　）

A．3

B．4

C．5

D．无法确定

答案：C（5）

中垂线性质：中垂线上的点到线段两端距离相等 ⇒ PB = PA = 5。不需要知道 P 的具体位置 —— 这正是模型的威力。

第 2 关填空题周长转移 ★★☆☆☆

2024·广西

如图，DE、FG 分别是 AB、AC 的中垂线，分别交 BC 于 E、F。若 BC = 12，则 △AEF 的周长为 ______。

答案：12

AE = BE（DE 是 AB 中垂线），AF = CF（FG 是 AC 中垂线）⇒ 周长 = AE + EF + AF = BE + EF + FC = BC = 12。三段折线拼成一条直线，这就是「周长转移」。

第 3 关填空题角度转移 ★★☆☆☆

2024·广西

如图，DE 垂直平分 AB 交 BC 于 E。若 ∠B = 36°，则 ∠AEC = ______。

答案：∠AEC = 72°

EA = EB ⇒ △ABE 等腰 ⇒ ∠EAB = ∠B = 36°。∠AEC 是 △ABE 的外角 ⇒ ∠AEC = 36° + 36° = 72°。中垂线不但搬边，还搬角 —— 等腰一出，底角成双。

第 4 关填空题逆向运用 ★★★☆☆

2024·广西

如图，AB、AC 的中垂线分别交 BC 于 E、F。若 △AEF 的周长为 14，则 BC = ______。

答案：BC = 14

周长转移是可逆的：△AEF 周长 = BE + EF + FC = BC = 14。⚠️ 与第 2 关互为逆向 —— 模型题最爱正逆换着考。

第 5 关解答题证明 ★★★☆☆

2024·广西

如图，P 是线段 AB 中垂线上一点，D 是 AB 中点。求证：PA = PB。

证明（SAS 全等）

∵ P 在 AB 中垂线上，∴ PD ⊥ AB，DA = DB（中垂线定义）。
在 △PDA 与 △PDB 中：DA = DB，∠PDA = ∠PDB = 90°，PD = PD（公共边）⇒ △PDA ≌ △PDB（SAS）⇒ PA = PB（全等三角形对应边相等）。

第 6 关探究题角度连环 ★★★★☆

2024·广西

△ABC 中 ∠BAC = 90°，DE 垂直平分 AB 交 BC 于 E，∠B = 40°。
（1）∠BAE = ______；（2）∠AEC = ______；（3）∠EAC = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）40°（2）80°（3）50°

（1）EA = EB ⇒ ∠BAE = ∠B = 40°；（2）外角 ∠AEC = 40° + 40° = 80°；（3）∠EAC = 90° − 40° = 50°。中垂线造等腰，底角相等是连环题的发动机。