初中数学 · 动态几何实验室

逆等线模型

拖动 M（N 自动保持 AN = CM）—— 作 Q 转移 CN，BM + QM ≥ BQ

AN = CM ⟹ △QCM ≌ △CAN ⟹ min(BM+CN) = BQ CQ∥AB 且 CQ = CA ｜等边特例 √3·a

模型同源真题 2024·山西太原 ★★★★☆

在等腰直角 △ABC 中，AB = AC = 10，∠A = 90°，点 M 在 AC 上、N 在 AB 上，满足 AN = CM（逆等线）。构造点 Q 使 CQ ∥ AB 且 CQ = CA。则 BM + CN 的最小值 = ______。

实验台 · AN = CM（逆等线）求 BM + CN 最小

拖动 M（N 自动保持 AN = CM）—— 作 Q 使 CQ∥AB、CQ = CA，则 QM = CN，BM + CN ≥ BQ

◈ 实时观测

AN 与 CM（逆等线）—

BM—

CN—

QM（应 = CN）—

BM + CN—

BQ（最小值）—

拖动 M 寻找最小值…

min(BM + CN) = BQ

作 Q：CQ∥AB 且 CQ = CA ⟹ △QCM ≌ △CAN（SAS）⟹ QM = CN ⟹ BM + CN = BM + QM ≥ BQ —— M 在 BQ 上取等

口诀：逆等线上两般配，平行等长造个 Q；全等一换 CN 走，三点共线值到手

拓展 · 等边特例：min = √3 · 边长

等边三角形中 Q 与 A 关于「C 正左侧」对称 —— BQ = √3·a；最优时 M、N 恰好都是中点

◈ 实时观测

边长 a—

BM + CN（当前）—

BQ（最小值）—

√3 · a—

等边：min = √3·a，M、N 为中点时取等 ✓

等边 ⟹ BQ = √3·a

等边时 Q、C 与 A 构成特殊构型：BQ² = (1.5a)² + (√3a/2)² = 3a² ⟹ BQ = a√3；最优 t = a/2（M、N 皆中点）

口诀：等边遇上逆等线，根号三倍边长见；双中点处取最小

中考真题（冲刺）

围绕「逆等线：作 Q 转移 CN，BM + QM ≥ BQ」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型识别 ★★☆☆☆

2024·中考专项训练

△ABC 中，M 在 AC 上、N 在 AB 上。「逆等线」条件是（　）

A．AN = CM

B．AM = CN

C．BM = CN

D．MN ∥ BC

答案：A（AN = CM）

两段相等线段分别从 A、C「反向」量取：AN 从 A 沿 AB，CM 从 C 沿 CA —— 方向相反，故称逆等线。

第 2 关单选题构造方法 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

求 BM + CN 最小值时，构造点 Q 的方式是（　）

A．CQ ∥ AB 且 CQ = CA

B．CQ ⊥ AB 于 Q

C．Q 是 C 关于 A 的中心对称点

D．CQ = CB 且 Q 在 AB 上

答案：A

这样 △QCM ≌ △CAN（SAS：QC=CA，∠QCM=∠CAN，CM=AN）⟹ QM = CN，加权和化为 BM+QM ≥ BQ。

第 3 关填空题等边特例 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

等边△ABC 边长为 2，M 在 AC、N 在 AB 上且 AN = CM，则 (BM+CN) 最小值的平方 = ______。

答案：12

等边 ⟹ min = √3·a = 2√3 ⟹ 平方 = 12。（BQ² = (1.5a)² + (√3a/2)² = 3a²）

第 4 关填空题公式应用 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

△ABC 中 ∠A = 90°，AB = AC = 6，AN = CM。则 BM + CN 最小值的平方 = ______。

答案：180

取 A 为原点、AB 沿 x 轴：C(0,6)，Q = (−6,6)，B(6,0) ⟹ BQ² = 12² + 6² = 180。

第 5 关填空题取等位置 ★★★★☆

2024·中考专项训练

等边△ABC 边长为 2，当 BM + CN 取最小值时，CM = ______。

答案：1

取等 ⟺ M 是 BQ 与 AC 的交点。等边的对称性 ⟹ M 恰好是 AC 中点 ⟹ CM = 1（N 也是 AB 中点）。

第 6 关证明题全等证明 ★★★★☆

2024·中考专项训练

如图，CQ ∥ AB 且 CQ = CA，M 在 AC 上、N 在 AB 上且 AN = CM。
求证：QM = CN。

证明

CQ∥AB ⟹ ∠QCM = ∠CAN（CQ 与 AN 平行、CM 与 CA 共线，方向各反一次，夹角相等）。又 QC = CA、CM = AN ⟹ △QCM ≌ △CAN（SAS）⟹ QM = CN。证毕。