初中数学 · 动态几何实验室

费马点模型

拖动 M 逼近费马点 —— 见证「旋转 60° 化折为直，三角皆 120°」

(MA+MB+MC)_min = AD D 为 BC 外侧等边顶点｜取等 ⟺ ∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°

模型同源真题 2024·福建福州 ★★★★☆

如图，△ABC 的三个内角都小于 120°，以 BC 为边向外作等边三角形 BCD，连接 AD。若 AD = 12，则 MA + MB + MC 的最小值 = ______。

实验台 · 到三顶点距离之和最小的点

拖动 A、B、C 改变三角形，拖动 M —— 把 M 拖到费马点 F 处，和最小

◈ 实时观测

MA + MB + MC（当前）—

最小值 = AD—

∠AMB—

∠BMC—

∠CMA—

M 不在费马点：和偏大

(MA+MB+MC)_min = AD（D 为 BC 外侧等边顶点）

绕 B 旋转 60°：折线 A→M→M′→D 的长度就是三距之和 —— 拉直时最短，此时三角都是 120°

口诀：费马点到三顶点，旋转六十折线直；三角皆是一二〇，和恰等于顶到顶

实验台 · 费马点的构造与钝角退化

锐角情形：两个外侧等边三角形顶点连线交点即 F；把 ∠A 拖过 120° 看退化

◈ 实时观测

最大内角—

费马点位置—

最小和（公式）—

√((a²+b²+c²)/2+2√3·S)—

三内角均 < 120° ⟹ F 在内部，三角 120°

min² = (a²+b²+c²)/2 + 2√3·S

最大角 ≥ 120° 时费马点「贴」到该顶点，最小和 = 两邻边之和 —— 120° 是两种情形的分界线

口诀：角超一二〇，费马贴顶点上

中考真题（冲刺）

围绕「费马点：旋转 60° 化折为直，三角皆 120°」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2026·湖北武汉

如图，△ABC 的每个内角都小于 120°，F 是其费马点（到三顶点距离之和最小的点），则 ∠AFB = （　）

A．100°

B．110°

C．120°

D．135°

答案：C（120°）

费马点的招牌性质：∠AFB = ∠BFC = ∠CFA = 120° —— 三个角平分 360°。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2026·湖北武汉

等边△ABC 的边长为 2，M 是三角形内任意一点，则 MA + MB + MC 最小值的平方 = ______。

答案：12

等边三角形费马点即中心：min = 3 × (2/√3) = 2√3，平方 = 12。或套公式 min² = (4+4+4)/2 + 2√3·√3 = 6 + 6 = 12。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2026·湖北武汉

如图，△ABC 内角均小于 120°，以 BC 为边向外作等边△BCD，连 AD。M 是三角形内任意一点。
求证：MA + MB + MC ≥ AD。

证明（旋转 60°）

将 △BMC 绕 B 旋转 60°，使 C 落到 D，M 落到 M′。
① BM = BM′ 且 ∠MBM′ = 60° ⟹ △BMM′ 等边 ⟹ MM′ = MB；
② 旋转保距：M′D = MC；
③ 折线 A→M→M′→D：MA + MM′ + M′D = MA+MB+MC ≥ AD（两点之间线段最短）。
等号 ⟺ 四点共线 ⟺ ∠AMB = ∠BMC = 120°。证毕。

第 4 关填空题公式应用 ★★★☆☆

2026·湖北武汉

等边△ABC 的边长为 6，则 MA + MB + MC 最小值的平方 = ______。

答案：108

min² = (36×3)/2 + 2√3×(√3/4×36) = 54 + 54 = 108。等边三角形 min² = 3·边长²，直接记也行。

第 5 关填空题退化情形 · 易错 ★★★★☆

2026·湖北武汉

△ABC 中 ∠A = 125°，AB = 5，AC = 7，M 是三角形内一点，则 MA + MB + MC 的最小值 = ______。

答案：12

⚠️ 最大角超过 120°，费马点退化为顶点 A 本身：min = AB + AC = 5 + 7 = 12。此时不存在「三角 120°」的内点 —— 120° 是分界线。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2026·湖北武汉

△ABC 中，F 为费马点。
(1) 内角均小于 120° 时，∠AFB = ______°（填数值）；
(2) 若 △ABC 为等边三角形且边长 = a，则最小和的平方 = ______（用 a 表示）；
(3) 若 ∠A ≥ 120°，记 AC = a，AB = b，则最小和 = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 120　(2) 3a²　(3) a+b

(1) 费马点三角皆 120°；(2) 等边时 min = √3·a，平方 = 3a²；(3) 钝角超 120° 退化到顶点，min = a+b。一句话：能 120° 就 120°，不行就贴顶点。

◈ 模型识别

「三角形内一点到三顶点距离之和最小」—— 费马点。先查最大角：≥120° 贴顶点，否则旋转 60° 化折为直。

◈ 破题口诀

「费马点到三顶点，旋转六十折线直；三角皆是一二〇，和恰等于顶到顶（AD）」。最小值² = (a²+b²+c²)/2 + 2√3·S。