奔驰模型

3² + 4² = 25 = 5²，满足 PA² + PB² = PC²。绕 B 旋转 60° 把 PC 搬到 P′A，△APP′ 三边为 3、4、5 ⟹ ∠APP′ = 90°，再加等边△BPP′ 的 60°，∠APB = 150°。

5² + 12² = 169 = 13² —— 又是一组勾股数！模型条件满足，∠APB = 90° + 60° = 150°。考场上识别出 5-12-13 就能秒答。

将 △BPC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 △BP′A（BC 与 BA 重合）。
① 旋转保距：P′A = PC，BP′ = BP；
② ∠PBP′ = 60° 且 BP = BP′ ⟹ △BPP′ 是等边三角形 ⟹ PP′ = PB，∠P′PB = 60°；
③ 在 △APP′ 中，PA² + PP′² = PA² + PB² = PC² = P′A²，由勾股逆定理 ∠APP′ = 90°；
∴ ∠APB = ∠APP′ + ∠P′PB = 90° + 60° = 150°。证毕。

模型可以反着用：∠APB = 150° ⟹ 旋转后 ∠APP′ = 90° ⟹ PC² = PA² + PB² = 36 + 64 = 100，PC = 10。条件与结论是「等价」的，正逆都能走。

旋转 90°：PP′ = √2·PB = 2√2，P′A = PC = 3。检验：1² + (2√2)² = 1 + 8 = 9 = 3² ⟹ △APP′ 直角，∠APP′ = 90°。⚠️ 易错：最后加的是 45°（等腰直角△BPP′ 的底角），不是 60° —— ∠APB = 90° + 45° = 135°。

(1) 旋转得 BP′ = BP 且夹角 60° ⟹ △BPP′ 等边 ⟹ PP′ = PB = b；(2) 等边三角形每个内角 60°；(3) 条件即 P′A² = PA² + PP′² ⟹ ∠APP′ = 90° ⟹ ∠APB = 90° + 60° = 150°。一句话：旋转 60°，把 PA、PB、PC 装进同一个三角形。