初中数学 · 动态几何实验室

对角互补模型

切换 α、沿角平分线拖 C、沿 OA 拖 D —— 见证「双垂出全等，CD 恒等于 CE」

CD = CE ｜ OD+OE = 2cos(α/2)·OC ∠AOB+∠DCE=180° 且 OC 平分 ∠AOB ｜ S = ½·OC²·sinα

模型同源真题 2024·河南郑州 ★★★☆☆

如图，∠AOB = 120°，OC 平分 ∠AOB，点 D、E 分别在 OA、OB 上，且 ∠DCE = 60°。若 CD = 5，则 CE = ______。

实验台 · ∠AOB + ∠DCE = 180°，OC 平分 ∠AOB

切换 α，拖动 C（沿角平分线）、拖动 D（沿 OA）—— 盯住 CD 与 CE 的长度

◈ 实时观测

∠AOB = α90°

∠DCE = 180° − α90°

CD—

CE—

OD + OE—

2cos(α/2)·OC—

CD = CE 且 OD + OE = 2cos(α/2)·OC ✓

CD = CE ｜ OD + OE = 2cos(α/2)·OC

作 CM⊥OA、CN⊥OB：角平分线 ⟹ CM = CN；对角互补 ⟹ ∠MDC = ∠NEC —— △CDM ≌ △CEN，一切由此而来

口诀：对角互补平分线，双垂一出全等现；CD 等于 CE，两边和是二倍半弦

实验台 · 四边形 ODCE 的面积不变

拖动 C、D —— 全等「剪拼」后面积恒等于正方形/菱形 OMCN 的面积

◈ 实时观测

S(ODCE)（实测）—

½·OC²·sinα—

OM = ON = OC·cos(α/2)—

CM = CN = OC·sin(α/2)—

S(ODCE) = S(OMCN) 恒成立 ✓

S(ODCE) = ½·OC²·sinα（定值）

△CDM 剪下来正好补进 △CEN —— 四边形面积恒等于 OMCN 的面积，与 D 的位置无关；α=90° 时 S = ½·OC²

口诀：全等剪拼补成方，面积只跟平分线长

中考真题（冲刺）

围绕「对角互补 + 角平分线 ⟹ CD = CE」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2025·贵州黔东南

如图，∠AOB = 90°，OC 平分 ∠AOB，D 在 OA 上，E 在 OB 上，∠DCE = 90°。若 CD = 5，则 CE = （　）

A．3

B．4

C．5

D．6

答案：C（5）

对角互补（90°+90°=180°）+ 角平分线 ⟹ CD = CE = 5。模型结论直接秒。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2025·贵州黔东南

如图，∠AOB = 90°，OC 平分 ∠AOB，OC = 5，∠DCE = 90°，D 在 OA 上，E 在 OB 上，则 OD + OE 的平方 = ______。

答案：50

OD + OE = √2·OC = 5√2（2cos45°·OC），平方 = 50。记结论：90° 模型里两边和 = √2·OC，与 D 的位置无关。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2025·贵州黔东南

如图，∠AOB = 90°，OC 平分 ∠AOB，D 在 OA 上，E 在 OB 上，∠DCE = 90°。
求证：CD = CE。

证明（双垂线法）

作 CM⊥OA 于 M，CN⊥OB 于 N。
① OC 平分 ∠AOB ⟹ CM = CN；
② 四边形 ODCE 中 ∠O + ∠DCE = 180° ⟹ ∠ODC + ∠OEC = 180°，又 ∠ODC + ∠MDC = 180° ⟹ ∠MDC = ∠NEC；
③ △CDM ≌ △CEN（AAS：直角、CM=CN、∠MDC=∠NEC）⟹ CD = CE。证毕。

第 4 关填空题 120° 模型 ★★★☆☆

2025·贵州黔东南

如图，∠AOB = 120°，OC 平分 ∠AOB，∠DCE = 60°，D、E 分别在 OA、OB 上。若 OD = 3，OC = 8，则 OE = ______。

答案：OE = 5

120° 模型：OD + OE = 2cos60°·OC = OC = 8 ⟹ OE = 8 − 3 = 5。⚠️ 系数是 2cos(α/2)：α=120° 时恰为 1，不是 √2！

第 5 关填空题面积不变 · 拓展 ★★★★☆

2025·贵州黔东南

如图，∠AOB = 90°，OC 平分 ∠AOB，OC = 6，∠DCE = 90°，D 在 OA 上移动，E 在 OB 上，则四边形 ODCE 的面积 = ______。

答案：18

全等剪拼：S(ODCE) = S(OMCN) = ½·OC²·sin90° = ½×36 = 18。与 D 的位置无关 —— 这是「面积不变量」。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2025·贵州黔东南

∠AOB = α，OC 平分 ∠AOB，∠DCE = 180° − α，记 OC = a。
(1) α = 60° 时，OD + OE = ______（用 a 表示，填系数形式如 k*a，k 可含根号近似：√3≈1.732）；
(2) α = 120° 时，OD + OE = ______（用 a 表示）；
(3) 面积 S(ODCE) = ½·a²·sinα：α = 90° 时 S = ______（用 a 表示）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 1.732a（即 √3·a）　(2) a　(3) a²/2

通式 OD+OE = 2cos(α/2)·a：α=60° 时 2cos30° = √3 ≈ 1.732；α=120° 时 2cos60° = 1。面积通式 ½·a²·sinα，α=90° 时 = a²/2。记通式，三个特例全拿下。

◈ 模型识别

「对角互补」（∠O + ∠DCE = 180°）+「角平分线」同框 —— 立刻作双垂线，全等三角形就在眼前。

◈ 破题口诀

「对角互补平分线，双垂一出全等现；CD 等于 CE，两边和是二倍半弦（2cos(α/2)·OC），面积等于二分一 OC²·sinα」。