初中数学 · 动态几何实验室

婆罗摩笈多模型

圆内接四边形 + 对角线垂直 —— 过交点的垂线必平分对边

OE⊥BC ⟹ F 为 AD 中点（OF = ½AD）圆内接 + 对角线垂直｜逆定理成立

模型同源真题 2024·山东青岛 ★★★★☆

如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC ⊥ BD 交于点 O。过 O 作 OE ⊥ BC 于 E，延长 EO 交 AD 于 F。若 AD = 10，则 OF = ______。

实验台 · 垂直对角线 + 过交点的垂线

拖动 O（圆内）或旋转对角线方向 —— OE⊥BC 延长后永远打在 AD 的中点 F 上

◈ 实时观测

∠AOD（对角线夹角）—

AF—

FD—

AF − FD—

AD—

OF 与 ½AD—

OE⊥BC ⟹ F 是 AD 中点 ✓（婆罗摩笈多定理）

OE⊥BC ⟹ F 为 AD 中点（OF = ½AD）

圆内接四边形 + 对角线互相垂直：过对角线交点作一边的垂线，延长后必平分对边 —— 婆罗摩笈多定理（逆定理也成立）

口诀：圆内接来对角垂，垂线一作出神威；对边中点它来定，斜边中线一半归

拓展 · 逆定理：F 是 AD 中点 ⟹ FE⊥BC

同一图形反着用：取 AD 中点 F，连 FO 延长交 BC 于 E —— 盯住 ∠OEB 恒为 90°

◈ 实时观测

AF 与 FD—

∠OEB（E 处）—

AD—

OF 与 ½AD—

F 为 AD 中点 ⟹ FE⊥BC ✓（逆定理）

中点 ⟺ 垂直（可逆）

正用：垂线出中点；逆用：中点出垂线 —— 证明共线问题时两条路都通

口诀：正逆都能用，看中点还是看垂直

中考真题（冲刺）

围绕「婆罗摩笈多：圆内接 + 对角线垂直 ⟹ 垂线出中点」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型条件 ★★☆☆☆

2024·山东泰安

婆罗摩笈多模型的两个前提条件是：四边形 ABCD 内接于圆，且（　）

A．对角线 AC⊥BD

B．对角线 AC = BD

C．AB ∥ CD

D．AB = CD

答案：A（对角线垂直）

两个前提缺一不可：内接于圆（为了用同弧等角）+ 对角线垂直（为了出直角三角形）。

第 2 关单选题定理结论 ★★☆☆☆

2024·山东泰安

构型中 OE⊥BC 于 E，延长 EO 交 AD 于 F，则 F 是 AD 的（　）

A．中点

B．三等分点

C．垂足（AF⊥AD）

D．随形状变化

答案：A（中点）

婆罗摩笈多定理：AF = FD，且 OF = ½AD（Rt△AOD 斜边中线）。

第 3 关填空题直接应用 ★★☆☆☆

2024·山东泰安

婆罗摩笈多构型中，FD = 4，则 AD = ______。

答案：8

F 是 AD 中点 ⟹ AD = 2·FD = 8。

第 4 关填空题斜边中线 ★★★☆☆

2024·山东泰安

婆罗摩笈多构型中，AD = 10，则 OF = ______。

答案：5

∠AOD = 90°（对角线垂直）+ F 是斜边 AD 中点 ⟹ OF = ½AD = 5（斜边中线定理）。

第 5 关填空题逆定理 ★★★☆☆

2024·山东泰安

构型中改为已知 F 是 AD 中点，连 FO 延长交 BC 于 E，则 ∠OEB = ______°。

答案：90

逆定理：中点出垂直 —— FE⊥BC 于 E。

第 6 关证明题定理证明 ★★★★☆

2024·山东泰安

圆内接四边形 ABCD 中 AC⊥BD 于 O，OE⊥BC 于 E，延长 EO 交 AD 于 F。
求证：AF = FD。

证明

① Rt△BOC 中 OE⊥BC ⟹ ∠COE = ∠OBC（同为 ∠BOE 的余角）；② ∠AOF = ∠COE（对顶角），∠OBC = ∠DAC（同弧 DC）⟹ ∠AOF = ∠OAF ⟹ OF = AF；③ 同理 OF = FD。故 AF = FD。证毕。