初中数学 · 动态几何实验室

半角模型

AB = AD、∠B + ∠D = 180°，∠EAF 恰为 ∠BAD 的一半 —— 补短一转，EF = BE + DF

AB = AD，∠B + ∠D = 180°，∠EAF = α/2 ⟹ EF = BE + DF ｜周长△CEF = BC + CD（定值）

模型同源真题 2024·辽宁沈阳 ★★★★☆

如图，正方形 ABCD 中，E 在 BC 上，F 在 CD 上，且 ∠EAF = 45°（即 ∠BAD 的一半）。若 BE = 3，DF = 4，则 EF = ______。

实验台 · 半角夹出等量和

拖 E 沿 BC 滑动（F 自动保持 ∠EAF = α/2），两个滑杆改 α、β 换四边形；α = β = 90° 时就是课本里的正方形半角

α = ∠BAD 125°

β = ∠ABC 98°

◈ 实时观测

∠EAF vs α/2—

∠D（= 180°−β）—

BE—

DF—

EF—

BE + DF—

周长 △CEF—

—

半角模型：∠EAF = α/2 ⟹ EF = BE + DF

延长 CB 至 P 使 BP = DF ⟹ △ABP ≌ △ADF（SAS）⟹ △AEP ≌ △AEF（SAS）⟹ EF = EP = EB + BP = BE + DF

口诀：半角一出现，补短延长线；两次全等转一圈，折线拉直等量和

实验台 · 旋转 α°：△ADF 落在 △ABP 上

点「▶ 旋转 α°」看 △ADF 绕 A 旋转后精准落在 △ABP（D→B、F→P）—— 补短的本质就是旋转；拖 E 看两个定值

◈ 实时观测

旋转角 = α—

旋转对应D→B，F→P

周长 △CEF—

BC + CD—

A 到 EF 的距离—

A 到直线 BC 的距离—

旋转 ⟹ AP = AF，∠EAP = α/2 —— 第二次全等的全部条件都从这里来

两个定值：C△CEF = BC + CD ｜ A 到 EF 的距离 = A 到 BC 的距离

EF = BE + DF 一展开，周长里的动线段两两拼接成定边：CE + CF + EF = CE + BE + CF + DF = BC + CD；△AEP ≌ △AEF 对应边 EP、EF 上的高相等 ⟹ 距离定值

口诀：折线拉直成定边，全等三角形高等同

中考真题（冲刺）

围绕「补短辅助线 · 两次全等 · 等量和 · 周长定值」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题辅助线★☆☆☆☆

2023·重庆

如图，四边形 ABCD 中 AB = AD，∠ABC + ∠ADC = 180°，E、F 分别在 BC、CD 上，∠EAF = ½∠BAD。要证 EF = BE + DF，应作的辅助线是（　）

A．延长 CB 至 P，使 BP = DF

B．过 A 作 AP ⊥ EF 于 P

C．连接 AC 交 EF 于 P

D．延长 EF 交 AD 于 P

答案：A

「补短法」：把 DF 补到 BE 的延长线上 —— 延长 CB 至 P 使 BP = DF。由 ∠ABC + ∠ADC = 180° 得 ∠ABP = 180° − ∠ABC = ∠ADC = ∠ADF，加上 AB = AD、BP = DF ⟹ △ABP ≌ △ADF。
⚠️ 易错：选 B 看似自然，但半角模型里没有垂直条件 —— 高要等全等证完之后才「免费」得到，不能拿来开路。

第 2 关填空题正方形半角★★☆☆☆

2023·重庆

如图，正方形 ABCD 边长为 6，E 在 BC 上、F 在 CD 上，∠EAF = 45°。若 BE = 2，DF = 3，则 EF = ______。

答案：5

正方形 ⟹ 半角模型条件全满足 ⟹ EF = BE + DF = 2 + 3 = 5。
验算：CE = 4，CF = 3，EF = √(4²+3²) = 5 ✓（3-4-5 直角三角形）。
⚠️ 模型结论与勾股验算双保险 —— 考场上算完最好这样回头验一次。

第 3 关填空题周长定值★★★☆☆

2023·重庆

如图，正方形 ABCD 边长为 6，E 在 BC 上、F 在 CD 上，∠EAF = 45°。E、F 运动时，△CEF 的周长为 ______。

答案：12

C△CEF = CE + CF + EF = CE + CF + (BE + DF) = (CE + BE) + (CF + DF) = BC + CD = 6 + 6 = 12 —— 与 E、F 位置无关，是定值。
⚠️ 关键一步就是把 EF 拆成 BE + DF，动线段两两拼回定边。

第 4 关填空题模型条件识别★★☆☆☆

2023·重庆

如图，四边形 ABCD 中 AB = AD，∠BAD = 120°，∠ABC = 100°，∠EAF = 60°。要使半角模型结论 EF = BE + DF 成立，∠ADC 必须等于 ______°。

答案：80

半角模型要求 ∠ABC + ∠ADC = 180°（对角互补，补短时 ∠ABP = ∠ADF 全靠它）⟹ ∠ADC = 180° − 100° = 80°。
⚠️ 三个条件缺一不可：AB = AD（旋转的半径）、对角互补（P 落在延长线上）、∠EAF = 半角（第二次全等的夹角）。

第 5 关解答题两次全等证明★★★★☆

2023·重庆

如图，四边形 ABCD 中 AB = AD，∠ABC + ∠ADC = 180°，E、F 分别在 BC、CD 上，∠EAF = ½∠BAD。求证：EF = BE + DF。

证明（补短 → 两次全等）

① 延长 CB 至 P，使 BP = DF，连接 AP。
② ∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ABP + ∠ABC = 180°（平角），∴ ∠ABP = ∠ADF。又 AB = AD，BP = DF ⟹ △ABP ≌ △ADF（SAS）⟹ AP = AF，∠BAP = ∠DAF。
③ ∠EAP = ∠EAB + ∠BAP = ∠EAB + ∠DAF = ∠BAD − ∠EAF = ½∠BAD = ∠EAF。又 AE = AE，AP = AF ⟹ △AEP ≌ △AEF（SAS）。
④ ∴ EF = EP = EB + BP = BE + DF。
⚠️ 书写易错：③中 ∠EAP = ∠BAD − ∠EAF 这步是把「半角」用出来的关键，漏写则逻辑断裂。

第 6 关探究题正方形半角综合★★★★★

2023·重庆

如图，正方形 ABCD 边长为 6，E 在 BC 上、F 在 CD 上，∠EAF = 45°，BE = 2。
（1）DF = ______；
（2）△CEF 的周长 = ______；
（3）点 A 到直线 EF 的距离 = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）3（2）12（3）6

（1）设 DF = x：EF = 2 + x，CE = 4，CF = 6 − x。Rt△CEF：(2+x)² = 4² + (6−x)² ⟹ 4 + 4x + x² = 16 + 36 − 12x + x² ⟹ 16x = 48 ⟹ x = 3；
（2）周长 = BC + CD = 12（定值）；
（3）△AEP ≌ △AEF，对应边 EP、EF 上的高相等：A 到 EF 的距离 = A 到 BC 的距离 = AB = 6。
⚠️ （1）的代数链「设 DF、勾股列方程」是正方形半角的标准打法；（3）别硬算点到直线距离 —— 全等三角形的对应高一步出。