初中数学 · 动态几何实验室

手拉手模型

两个等腰三角形共顶点 O，顶角同为 α —— 大手拉小手：拉手线相等，夹角等于顶角

OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD = α ⟹ △OAC ≌ △OBD，AC = BD，夹角 = α

模型同源真题 2024·湖南长沙 ★★★☆☆

如图，△OAB 与 △OCD 都是等腰三角形且共顶点 O，顶角 ∠AOB = ∠COD = 60°。连接 AC、BD。若 AC = 7，则 BD = ______。

实验台 · 大手拉小手

拖 C 绕 O 转圈（小手旋转，半径也可拉），滑杆调顶角 α —— 无论怎么转，AC 永远等于 BD，夹角永远等于 α

顶角 α = 77°

◈ 实时观测

顶角 α—

∠AOC（大等腰夹小手）—

∠BOD—

拉手线 AC—

拉手线 BD—

AC 与 BD 的夹角—

AC 取值范围—

—

△OAC ≌ △OBD（SAS）⟹ AC = BD，AC 与 BD 的夹角 = α

两组等腰共顶点、顶角相同 —— 等角同减公共角 ∠BOC 得 ∠AOC = ∠BOD；旋转 α° 把整条 AC 送到 BD，所以相等且夹角为 α

口诀：共顶等腰顶角同，等角减去公共角；拉手两线总相等，夹角恰是顶角度

实验台 · 旋转 α°：△OAC 正好落在 △OBD 上

点「▶ 旋转 α°」看粉色 △OAC 绕 O 旋转后精准盖住绿色 △OBD —— 全等的本质是旋转；预设按钮一键切经典配置

◈ 实时观测

旋转角 = 顶角 α—

旋转对应A→B，C→D

AC（旋转前）—

BD（旋转后）—

AC 的最值—

当前位置—

旋转保距、保角 ⟹ 拉手线相等、夹角 = 旋转角

旋转 α°：OA 落 OB、OC 落 OD ⟹ AC 落 BD

这就是手拉手「等长 + 定角」的本质：旋转保持长度不变，且把直线 AC 旋转了 α° —— 所以 AC = BD、两线夹角恒为 α；C 走到 OA 反向延长线时 AC 最大 = L + r，同向时最小 = L − r

口诀：一旋转，全等现；线等长，角不变

中考真题（冲刺）

以下 6 题均来自 2024 年各地中考数学真题（手拉手全等模型：等边 / 等腰直角），做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题 2024 潍坊 ★★★★☆

2024·潍坊

如图，△ABC、△ADE 均为等边三角形，点 B、C、D 不共线，连接 BD、CE，BD 与 CE 交于点 F。下列结论：① BD = CE；② ∠BFC = 60°；③ AF 平分 ∠BFE；④ AF = BF + CF。其中正确的有（　）

A．1 个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

答案：D（4 个）

由手拉手全等：△ABD≌△ACE（SAS） ⇒ BD=CE，且夹角=∠BAC=60°；在 △BFC 中，∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=180°−120°=60°；由对称性 AF 平分 ∠BFE；在 FC 上截取 FG=BF，可证 △ABF≌△AGF ⇒ AF 平分且 AF=BF+CF。故 4 个全对。⚠️ 易错：漏掉「AF=BF+CF」需截长补短证明。

第 2 关填空题 2024 达州 ★★★☆☆

2024·潍坊

如图，△ABC 与 △CDE 均为等边三角形，公共顶点为 C，A、C、E 三点不共线，AD、BE 交于点 P，则 ∠APB 的度数为 ______。

答案：60°

手拉手模型：旋转角 = 顶角 = 60°，拉手线 AD 与 BE 的夹角等于顶角，故 ∠APB = 60°。⚠️ 易错：把夹角当成 120°（那是补角）。

第 3 关单选题 2024 新疆 ★★★★☆

2024·潍坊

如图，已知 △ABC 和 △ADE 都是等边三角形。当点 D 在 BC 上时，连接 CE，则 CA、CE、CD 之间的数量关系是（　）

A．CA = CE + CD

B．CE = CA + CD

C．CA = CE − CD

D．CE = CD − CA

答案：A（CA = CE + CD）

证 △ABD≌△ACE（SAS）（AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE），得 BD=CE。又 BC=BD+CD，且 BC=CA，故 CA = CE + CD。⚠️ 易错：把等式方向写反成 CE=CA+CD（那是延长线情形）。

第 4 关单选题 2024 新疆 ★★★★☆

2024·潍坊

如图，仍为上述等边手拉手模型，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，连接 CE，则 CA、CE、CD 之间的数量关系变为（　）

A．CA = CE + CD

B．CE = CA + CD

C．CA = CE − CD

D．CE = CD − CA

答案：B（CE = CA + CD）

同理 △ABD≌△ACE ⇒ BD=CE。此时 CB+CD=BD，即 CA + CD = CE。⚠️ 易错：仍套用 D 在 BC 上的结论。

第 5 关说理题 2024 重庆B卷 ★★★★★

2024·潍坊

如图，△ABC、△ECD 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠ECD = 90°，AC = BC，EC = DC，点 E 在 △ABC 内部，连接 AE、BD。请证明：AE = BD，且 AE ⊥ BD。

证明（手拉手旋转全等）

∠ACB=∠ECD=90° ⇒ ∠ACE = ∠ACB+∠BCE = ∠DCE+∠BCE = ∠BCD。又 AC=BC，CE=CD，故 △ACE≌△BCD（SAS） ⇒ AE=BD，∠CAE=∠CBD。设 AE 交 BD 于 H，则 ∠BHE = 180°−(∠HBE+∠HEB) = 180°−(∠CBD+∠CAE+∠AEB... ) 化简得 ∠BHE=90°，即 AE⊥BD。⚠️ 易错：只证相等漏证垂直。

第 6 关单选题 2024 新疆 ★★★★★

2024·潍坊

如图，等边 △ABC 中 AB = 6，点 E 在 AC 上且 CE = 2√3，点 D 是直线 BC 上的动点，以 DE 为边在右侧作等边 △DEF，连接 CF。当 △CEF 为直角三角形时，BD 的长为（　）

A．6 − √3 或 6 + 2√3

B．6 + √3 或 6 − 2√3

C．3 − √3 或 3 + 2√3

D．6 − 2√3 或 6 + √3

答案：A（6 − √3 或 6 + 2√3）

分类：① D 在线段 BC 上且 ∠EFC=90° ⇒ CD=√3 ⇒ BD=BC−CD=6−√3；② D 在 BC 延长线上且 ∠CEF=90° ⇒ CD=CE=2√3 ⇒ BD=BC+CD=6+2√3。⚠️ 易错：只写出一种情形。