一线三等角模型

过 E 作 EM⊥CB 延长线于 M。由旋转得 AD = DE，∠ADE = 90°，故 ∠ADC + ∠EDM = 90°。又 ∠ACB = 90° ⇒ ∠ACD = ∠DME，且 ∠ADC + ∠CAD = 90°，得 ∠CAD = ∠EDM。于是 △ACD ≌ △DME（AAS），从而 CD = EM，AC = DM。又 AC = BC ⇒ BM = DM = AC，即 △BME 为等腰直角三角形，BE = √2 BM = √2 CD。⚠️ 易错：漏掉“△ACD≌△DME”这步直接猜比例。

∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C。已知 ∠ADE = ∠B，故 ∠ADE = ∠C。在 △ABD 中，∠ADC = ∠B + ∠BAD（外角）；在 △DCE 中，∠ADC = ∠ADE + ∠CDE。两式相减得 ∠BAD = ∠CDE。于是 △ABD 与 △DCE 有两组角对应相等（∠B = ∠C，∠BAD = ∠CDE），∴ △ABD ∽ △DCE（一线三等角）。⚠️ 易错：把“∠ADE=∠B”误当成“∠ADE=∠C”而跳步。

由 BD⊥l、CE⊥l 且 l∥BC，易知 BD = CE 且四边形 BDEC 为矩形，故 DE = BD + CE。又 AB = AC = √2，∠BAC = 90°，在 Rt△ABD 与 Rt△ACE 中（一线三垂直），BD = CE = AB·sin45° = √2 × √2/2 = 1。所以 DE = 1 + 1 = 2。⚠️ 易错：把 DE 当成 BD−CE 而误得 0。

“一线三直角”是 一线三等角 的直角特例：三个直角共线，由 ∠ABD = ∠BDE = ∠A = 90° 可证两组三角形相似（△ABD∽△BDE 等），从而把线段关系转为面积关系。按题设推导，目标三角形面积 = 10。⚠️ 易错：把“一线三直角”当作普通直角三角形直接套勾股而漏掉相似链。

仍用一线三垂直：过 E 作 EM⊥CB 延长线于 M，证 △ACD ≌ △DME ⇒ CD = EM = 2，AC = DM = 1，故 CM = CD + DM = 3。在 Rt△CEM 中，CE = √(CM² + EM²) = √(9 + 4) = √13，于是 sin∠ECD = EM/CE = 2/√13 = 2√13/13。⚠️ 易错：把 CM 算成 3−1=2 而误得 2√5/5。

AE = 2，由 AE = 2BF 得 BF = 1，故 BE = AB − AE = 2。在 Rt△BEF 中（∠B = 90°，一线三等角/K字），EF² = BE² + BF² = 2² + 1² = 5。正方形 EFGH 的面积 = EF² = 5。⚠️ 易错：把 EF 当成 √(AE²+BF²) 而误得 √5。