初中数学 · 动态几何实验室

倍长中线模型

延长中线 AD 至 E 使 DE = AD —— 拖动 A、B、C，见证 △ABD ≌ △ECD

△ABD ≌ △ECD SAS ⟹ AB = CE 且 AB ∥ CE ｜ AD < (AB + AC)/2

模型同源真题 2024·重庆 ★★★☆☆

如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB = 5。延长 AD 到 E 使 DE = AD，连接 CE，则 CE = ______。

实验台 · 中线翻倍造全等

D 为 BC 中点，E = A 关于 D 的对称点（DE = AD）—— 拖动 A、B、C，盯住 △ABD 与 △ECD

◈ 实时观测

AB—

CE（= AB）—

AD—

DE（= AD）—

(AB + AC) / 2—

∠ABD 与 ∠ECD—

—

△ABD ≌ △ECD（SAS）

倍长中线造全等：AB = CE 且 AB ∥ CE —— 把 AB「搬」到 CE，拼出平行四边形 ABEC

口诀：见中线，就倍长；造全等，移边长

实验台 · 倍长类中线

M 是 AB 上任意一点（不必是中点），倍长 MD 至 E′ 使 DE′ = MD —— 拖动 M，盯住 △MBD 与 △E′CD

◈ 实时观测

MB—

CE′（= MB）—

MD—

DE′（= MD）—

∠MBD 与 ∠E′CD—

—

△MBD ≌ △E′CD（SAS）

类中线同样倍长：M 不必是中点，MB = CE′ 且 MB ∥ CE′ 依然成立

口诀：中线类中线，倍长都全等

中考真题（冲刺）

以下 6 题改编自 2024 年中考数学专项训练（倍长中线模型），题源可在 21cnjy / 51jiaoxi 按资源 ID 查证；做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题 2024 专项训练 ★★★★☆

2024·中考专项训练

如图，在 △ABC 中，AB = 4，AC = 2，点 D 为 BC 的中点。则中线 AD 的长可能是（　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：B（2）

倍长中线：延长 AD 到 E 使 DE = AD，连接 BE，可证 △ADC≌△EDB（SAS） ⇒ BE = AC = 2。在 △ABE 中，AB − BE < AE < AB + BE，即 4 − 2 < 2AD < 4 + 2 ⇒ 1 < AD < 3。四个选项中只有 2 落在该范围。⚠️ 易错：把中线误当成 AB、AC 的平均数（=3）。

第 2 关单选题 2024 专项训练 ★★★★☆

2024·中考专项训练

如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 5，AC = 3，设 AD = x，则 x 的取值范围是（　）

A．2 < AD < 8

B．1 < x < 4

C．2 < x < 5

D．4 ≤ AD ≤ 8

答案：B（1 < x < 4）

倍长中线得 BE = AC = 3，AE = 2x。在 △ABE 中，AB − BE < AE < AB + BE ⇒ 5 − 3 < 2x < 5 + 3 ⇒ 2 < 2x < 8 ⇒ 1 < x < 4。⚠️ 易错：把 2x 当成 x，误选 A（2<AD<8 是常见陷阱）。

第 3 关说理题 2024 专项训练 ★★★★☆

2024·中考专项训练

如图，AD 是 △ABC 的中线（D 为 BC 中点）。延长 AD 至点 E，使 DE = AD，连接 BE。请证明：△ACD ≌ △EBD（由此可得 BE = AC）。

证明（倍长中线构造全等）

∵ D 为 BC 中点，∴ BD = CD。又 AD = DE（倍长），且 ∠ADC 与 ∠EDB 为对顶角 ⇒ ∠ADC = ∠EDB。于是 △ACD≌△EBD（SAS） ⇒ BE = AC。⚠️ 易错：忘记先写「BD = CD」这一中线条件，全等无据。

第 4 关单选题 2024 专项训练 ★★★★☆

2024·中考专项训练

承接上题：由倍长中线得 BE = AC、AE = 2AD，在 △ABE 中利用三边关系，可直接推出（　）

A．AB + AC > 2AD

B．AB + AC < 2AD

C．AB + AC = 2AD

D．无法判断

答案：A（AB + AC > 2AD）

在 △ABE 中，两边之和大于第三边：AB + BE > AE。代入 BE = AC、AE = 2AD，得 AB + AC > 2AD。这是倍长中线法证明「中线小于两边之和的一半」的标准结论。⚠️ 易错：不等号方向写反。

第 5 关单选题 2024 专项训练 ★★★★★

2024·中考专项训练

如图，在 △ABC 中，D 为 BC 的中点，AB = 5，AC = 3，中线 AD = 2，则 CD 的长为（　）

A．√13

B．√10

C．2√3

D．√15

答案：A（√13）

用中线长公式（倍长中线亦可）：AB² + AC² = 2(AD² + BD²) ⇒ 25 + 9 = 2(4 + CD²) ⇒ 34 = 8 + 2CD² ⇒ CD² = 13 ⇒ CD = √13。⚠️ 易错：误用勾股定理（AD 并不垂直 BC）。

第 6 关说理题 2024 专项训练 ★★★★★

2024·中考专项训练

如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，且 BD = CD（D 在 BC 上）。请证明：AB = AC（提示：延长 AD 到 E 使 DE = AD，连接 CE）。

证明（倍长中线 + 角平分线 ⇒ 等腰）

倍长 AD 到 E 使 DE = AD，连 CE。由 BD = CD、AD = DE、∠ADB = ∠CDE（对顶），得 △ABD≌△ECD（SAS） ⇒ AB = CE，且 ∠BAD = ∠E。又 AD 平分 ∠BAC ⇒ ∠BAD = ∠CAD，故 ∠E = ∠CAD。在 △ACE 中，∠E = ∠CAE ⇒ AC = CE = AB，即 AB = AC。⚠️ 易错：证完全等就停，漏掉「∠E = ∠CAD ⇒ AC = CE」这关键一步。