初中数学 · 动态几何实验室

三角形双角平分线模型

两条角平分线一交，交角只由顶角决定 —— 拖一拖顶点 A 验证

∠BDC = 90° + ½∠A 内外：∠E = ½∠A ｜外外：∠F = 90° − ½∠A

模型同源真题 2024·湖北武汉 ★★★☆☆

如图，在 △ABC 中，BD、CD 分别平分 ∠ABC、∠ACB，两线交于点 D。若 ∠A = 70°，则 ∠BDC = ______。

实验台 · 内角平分线交点 D

BD、CD 分别平分 ∠B、∠C，交于内心 D —— 拖动 A / B / C 任意顶点都能改变形状，盯住 ∠BDC 与 90° + ½∠A

◈ 实时观测

∠A（顶角）—

∠B—

∠C—

∠B/2 + ∠C/2—

∠BDC（内心张角）—

90° + ½∠A—

∠BDC = 90° + ½∠A

内心张角 = 直角 + 顶角的一半：△BDC 里两个底角是 ∠B、∠C 的一半，而 ∠B + ∠C 又由 ∠A 决定

口诀：内内相交九十半，顶角一半往上添

实验台 · 内外 / 外外 / 三心

内角平分线与外角平分线会交到哪里？三种视角切换，拖动 A / B / C 任意顶点观察 E、F —— 构型经扫描，保证三心同屏

◈ 实时观测

∠A（顶角）—

∠E—

½∠A—

∠D + ∠F—

∠E = ½∠A

内外相交：∠E 是 △BCE 的外角关系差出来的 —— 正好顶角的一半

口诀：内外相交对半砍，外外相交九十减

中考真题（冲刺）

围绕「内内 ∠BDC = 90°+½∠A ｜内外 ∠E = ½∠A ｜外外 ∠F = 90°−½∠A」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·黑龙江大庆

如图，在 △ABC 中，∠A = 60°，BD、CD 分别平分 ∠ABC、∠ACB，交于点 D，则 ∠BDC =（　）

A．100°

B．110°

C．120°

D．130°

答案：C（120°）

∠BDC = 90° + ½∠A = 90° + 30° = 120°。⚠️ 不要算成 180° − 60° = 120° 的巧合 —— 换 ∠A = 50° 就是 115°，必须用模型公式。

第 2 关填空题逆向求角 ★★★☆☆

2024·黑龙江大庆

如图，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠ACB 的外角，两线交于点 E。若 ∠E = 35°，则 ∠A = ______。

答案：∠A = 70°

内外相交：∠E = ½∠A，所以 ∠A = 2 × 35° = 70°。⚠️ 看清是「内 + 外」相交，答案不是 180° − 2 × 35°。

第 3 关填空题外外相交 ★★★☆☆

2024·黑龙江大庆

如图，BF、CF 分别平分 ∠ABC、∠ACB 的外角，交于点 F。若 ∠A = 80°，则 ∠F = ______。

答案：∠F = 50°

外外相交：∠F = 90° − ½∠A = 90° − 40° = 50°。与内心公式对比记：内加外减 —— 内内相交 90°+½∠A，外外相交 90°−½∠A。

第 4 关填空题综合计算 ★★★★☆

2024·黑龙江大庆

在 △ABC 中，∠A = 40°，D 为两条内角平分线的交点，F 为两条外角平分线的交点，则 ∠BDC + ∠F = ______。

答案：∠BDC + ∠F = 180°

∠BDC = 90° + 20° = 110°，∠F = 90° − 20° = 70°，和为 180°。内心张角与旁心张角永远互补 —— 与 ∠A 大小无关。

第 5 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2024·黑龙江大庆

如图，BD、CD 分别平分 ∠ABC、∠ACB，交于点 D。求证：∠BDC = 90° + ½∠A。

证明

在 △BDC 中，∠DBC = ½∠ABC，∠DCB = ½∠ACB（角平分线定义），∴ ∠BDC = 180° − ½(∠B + ∠C)。又在 △ABC 中，∠B + ∠C = 180° − ∠A，代入得 ∠BDC = 180° − ½(180° − ∠A) = 90° + ½∠A。

第 6 关探究题规律探究 ★★★★☆

2024·黑龙江大庆

设 ∠A = a。
（1）用含 a 的式子表示 ∠BDC；（2）表示 ∠F（F 为两外角平分线交点）；（3）∠BDC + ∠F = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）90 + a/2（2）90 − a/2（3）180

（1）内内：∠BDC = 90° + a/2；（2）外外：∠F = 90° − a/2；（3）相加常数项 180°，±a/2 抵消 ⇒ 恒等于 180°。一加一减，互补成双。