中考真题（冲刺）
围绕「飞镖模型 ∠D = ∠A + ∠B + ∠C」与 8字交叉、n等分线拓展 · 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
直击中考
★★☆☆☆
2025·湖北十堰
如图（飞镖形），点 D 在 △ABC 内部，连接 AD、CD。若 ∠BAD = 30°，∠ABC = 45°，∠DCB = 35°，则 ∠ADC 的度数是（ ）
答案：B（110°）
由飞镖模型，∠ADC = ∠BAD + ∠ABC + ∠DCB = 30° + 45° + 35° = 110°。⚠️ 三个小角一个都不能漏 —— 凹角是它们的总和。
第 2 关
填空题
直击中考
★★☆☆☆
2025·湖北十堰
如图（飞镖形），∠ADC = 130°，∠BAD = 40°，∠ABC = 50°，则 ∠DCB = ______。
答案：∠DCB = 40°
∠DCB = ∠ADC − ∠BAD − ∠ABC = 130° − 40° − 50° = 40°。知道凹角求小角，连减两次即可。
第 3 关
证明题
中考经典题
★★☆☆☆
2025·湖北十堰
如图（飞镖形），点 D 在 △ABC 内部，连接 AD、CD。
求证：∠ADC = ∠BAD + ∠ABC + ∠DCB。（提示：连接 BD 并延长到 E）
证明
连接 BD 并延长到 E。
∵ ∠ADE 是 △ABD 的外角，∴ ∠ADE = ∠BAD + ∠ABD；
∵ ∠CDE 是 △CBD 的外角，∴ ∠CDE = ∠DCB + ∠CBD。
两式相加：∠ADE + ∠CDE = ∠BAD + ∠DCB + (∠ABD + ∠CBD)。
左边 = ∠ADC，右边括号 = ∠ABC。
∴ ∠ADC = ∠BAD + ∠ABC + ∠DCB。
第 4 关
填空题
8字交叉 · 拓展
★★★☆☆
2025·湖北十堰
如图，线段 AB 与 CD 交于点 O（8字形），连接 AD、BC。若 ∠A = 50°，∠D = 60°，∠B = 45°，则 ∠C = ______。
答案：∠C = 65°
飞镖拖成 8字后，关系变为「两翼之和相等」：∠A + ∠D = ∠B + ∠C（对顶角两侧各自内角和）。∠C = 50° + 60° − 45° = 65°。⚠️ 注意区分飞镖形（凹角 = 三角和）与 8字形（两翼和相等）—— 形状变，公式也变。
第 5 关
填空题
双角平分线 · 拓展
★★★★☆
2025·湖北十堰
如图（飞镖形），AP 平分 ∠BAD，CP 平分 ∠DCB，两平分线交于点 P。若 ∠ABC = 40°，∠ADC = 120°，则 ∠APC = ______。
答案：∠APC = 80°
由拓展结论 ∠APC = (∠ABC + ∠ADC) / 2 = (40° + 120°) / 2 = 80°。推导：对小飞镖（B-A-P-C）用一次模型 ∠APC = ∠B + ½∠BAD + ½∠BCD，对大飞镖有 ∠BAD + ∠BCD = ∠D − ∠B，代入即得。
第 6 关
规律探究
中考复习讲义
★★★☆☆
2025·湖北十堰
如图（飞镖形），∠ABC = α，∠ADC = β。从 A、C 分别作 ∠BAD、∠BCD 的等分线（靠 B 侧），交于点 P。
(1) 若为角平分线，则 ∠APC = ______（用 α、β 表示）；
(2) 若为三等分线（∠BAP = ⅓∠BAD），猜想 ∠APC = ______；
(3) 推广到 n 等分线，写出 ∠APC 的通式。
(1)
(2)
(3)
答案：(1) (α+β)/2 (2) (2α+β)/3 (3) [(n−1)α+β]/n
对小飞镖（B-A-P-C）：∠APC = ∠B + ∠BAP + ∠BCP；对大飞镖：∠BAD + ∠BCD = β − α。
(1) 平分时 ∠BAP + ∠BCP = (β−α)/2，故 ∠APC = α + (β−α)/2 = (α+β)/2；
(2) 三等分时为 (β−α)/3，∠APC = (2α+β)/3；
(3) n 等分：∠APC = α + (β−α)/n = [(n−1)α+β]/n。
规律一句话：∠P 永远夹在 ∠B 与 ∠D 之间，等分越细，越靠近 ∠B。
◈ 模型识别
四边形中有一个顶点凹进去（飞镖形/箭头形），求凹角与其余三角的关系 —— 优先想到飞镖模型。若两边交叉成 8字，改用「两翼和相等」。
◈ 破题口诀
「飞镖凹角大，一角顶三角」。辅助线首选连接并延长凹角对顶线，两次外角定理搞定。遇角平分线交点，小飞镖 + 大飞镖各用一次。