初中数学 · 动态几何实验室

两平行线间的拐点模型

AB ∥ CD，点 E 是两条平行线间的拐点 —— 过拐点作平行线，三段角的关系立刻现形

左凸和型：∠BED = ∠ABE + ∠CDE ｜右凸铅笔头：三角和 = 360° ｜线外差型：大角 = 小角 + ∠BED

模型同源真题 2024·广东广州 ★★☆☆☆

如图，AB ∥ CD，点 E 在两线之间且凸向左侧。若 ∠ABE = 30°，∠CDE = 45°，则 ∠BED = ______。

实验台 · 拐点在哪一侧？

拖 E 在两线之间左右移动 —— 凸向左是「和型」，凸过 B、D 右侧变「铅笔头」；开辅助线看内错角/同旁内角

◈ 实时观测

∠ABE（B 处）—

∠BED（拐点 E）—

∠CDE（D 处）—

当前形态—

验证—

—

∠BED = ∠ABE + ∠CDE（左凸 · 和型）

过 E 作 EF ∥ AB ⟹ ∠ABE = ∠BEF（内错角），∠CDE = ∠DEF ⟹ 相加即得

口诀：平行线间一拐点，过点先作平行线；左凸相加右三六，出界大角减小角

实验台 · E 的全平面之旅

E 可以拖出两条平行线之外（上方/下方）—— 第三种形态「差型」出现：大角 = 小角 + ∠BED

◈ 实时观测

E 的位置—

∠ABE—

∠BED—

∠CDE—

结论式—

—

三种形态一张图：左凸和型 · 右凸 360° · 线外差型

统一武器都是「过 E 作平行线」：内错角搬角，凸向决定加减 —— 左凸两段相加、右凸两对同旁内角凑 360°、线外大角减小角

口诀：见拐点，作平行；位置定号，角度自明

中考真题（冲刺）

围绕「过拐点作平行线 · 和型 · 铅笔头 360° · 线外差型」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题和型直用★☆☆☆☆

2023·湖北鄂州

如图，AB ∥ CD，点 E 在两线之间（凸向左）。若 ∠ABE = 40°，∠CDE = 55°，则 ∠BED =（　）

A．85°

B．90°

C．95°

D．105°

答案：C（95°）

左凸和型：∠BED = ∠ABE + ∠CDE = 40° + 55° = 95°。
⚠️ 模型直用题；想不起结论就现场作 EF ∥ AB，两对内错角一搬就出。

第 2 关填空题铅笔头 360°★★☆☆☆

2023·湖北鄂州

如图，AB ∥ CD，点 E 在 B、D 右侧（铅笔头型）。若 ∠ABE = 130°，∠BED = 140°，则 ∠CDE = ______°。

答案：90

铅笔头型：∠ABE + ∠BED + ∠CDE = 360° ⟹ ∠CDE = 360° − 130° − 140° = 90°。
⚠️ 形态别判错：E 凸向右侧（开口朝左）是 360° 型，直接相加会错成 270°。

第 3 关填空题线外差型★★★☆☆

2023·湖北鄂州

如图，AB ∥ CD，点 E 在直线 AB 的上方（偏左）。若 ∠CDE = 65°，∠BED = 25°，则 ∠ABE = ______°。

答案：40

线外差型（E 在上方偏左，远侧是 ∠CDE）：∠CDE = ∠ABE + ∠BED ⟹ ∠ABE = 65° − 25° = 40°。
⚠️ 线外不是相加而是相减 —— 过 E 作平行线后，大角被分成「小角 + ∠BED」。

第 4 关单选题辅助线依据★★☆☆☆

2023·湖北鄂州

如图，AB ∥ CD，过 E 作 EF ∥ AB（F 在 E 右侧）。则「∠ABE = ∠BEF」的依据是（　）

A．同位角相等

B．内错角相等

C．同旁内角互补

D．对顶角相等

答案：B（内错角相等）

AB ∥ EF，截线是 BE：∠ABE 与 ∠BEF 在截线两侧、两平行线之间 —— 正是内错角。
⚠️ 同模型右凸情形用的是 C（同旁内角互补）——同一辅助线，位置不同用不同性质。

第 5 关解答题和型证明★★★★☆

2023·湖北鄂州

如图，AB ∥ CD，点 E 在两线之间（凸向左）。求证：∠BED = ∠ABE + ∠CDE。

证明（过拐点作平行线）

① 过 E 作 EF ∥ AB（F 在 E 右侧）；
② ∵ AB ∥ EF，∴ ∠ABE = ∠BEF（两直线平行，内错角相等）；
③ ∵ AB ∥ CD 且 EF ∥ AB，∴ EF ∥ CD（平行于同一直线的两直线平行），∴ ∠CDE = ∠DEF（内错角相等）；
④ ∴ ∠BED = ∠BEF + ∠DEF = ∠ABE + ∠CDE。
⚠️ ③中「EF ∥ CD」的传递性一步最容易漏写 —— 没有它，第二对内错角就没有依据。

第 6 关探究题三形态综合★★★★★

2023·湖北鄂州

AB ∥ CD，点 E 是动点。
（1）E 在两线之间凸向左，∠ABE = 30°，∠BED = 75°，则 ∠CDE = ______°；
（2）E 在 B、D 右侧，∠ABE + ∠CDE = 225°，则 ∠BED = ______°；
（3）E 在 CD 下方（偏左），∠CDE = 55°，∠BED = 20°，则 ∠ABE = ______°。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）45（2）135（3）75

（1）和型：∠CDE = 75° − 30° = 45°；
（2）铅笔头：∠BED = 360° − 225° = 135°；
（3）线外差型（下方偏左，远侧是 ∠ABE）：∠ABE = ∠CDE + ∠BED = 55° + 20° = 75°。
⚠️ 三问正好是三种形态各一遍 —— 先判凸向/位置，再决定相加、凑 360° 还是相减。