初中数学 · 动态几何实验室

双角平分线模型

OC 把 ∠AOB 拆成两半，OD 平分 ∠AOC、OE 平分 ∠BOC —— 两条平分线的夹角恒为大角的一半

OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC ⟹ ∠DOE = ½∠AOB（与 OC 位置无关）｜ ∠AOB = 180° 时 OD ⊥ OE

模型同源真题 2024·上海 ★★☆☆☆

如图，OC 在 ∠AOB 内部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。若 ∠AOB = 100°，则 ∠DOE = ______。

实验台 · 大角的一半

拖 A 改变大角 ∠AOB，拖 C 改变拆分位置 —— 无论 C 怎么动，∠DOE 永远 = ½∠AOB

◈ 实时观测

∠AOB（大角）—

∠AOC / ∠BOC—

∠DOC = ½∠AOC—

∠COE = ½∠BOC—

∠DOE = 两半边之和—

½∠AOB—

—

∠DOE = ½∠AOC + ½∠BOC = ½∠AOB

两半角拼起来，正好是大角的一半 —— C 在大角内部任意滑动，结论分毫不动

口诀：双分两半角，夹角是大角的一半；拉平成平角，两线必垂直

实验台 · OC 在外 + 平角垂直

拖 C 可以转到 ∠AOB 外面 —— 结论照样成立（变成两半角之差）；点「拉平」把 ∠AOB 变成 180°，看 OD⊥OE

◈ 实时观测

OC 的位置—

∠AOB—

∠DOC = ½∠AOC—

∠COE = ½∠BOC—

∠DOE—

½∠AOB—

—

OC 在外：∠DOE = |½∠AOC − ½∠BOC| = ½∠AOB ｜平角 ⟹ OD⊥OE

C 转出大角外，两平分线的夹角从「和」变「差」，结果还是大角的一半；∠AOB = 180° 时夹角 90° —— 邻补角的平分线互相垂直，这是判定垂直的一件暗器

口诀：内和外差都一半，平角平分必垂直

中考真题（冲刺）

围绕「两半角拼一半 · 外差内和 · 平角出垂直」· 做完先在实验台转一转验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型直用★☆☆☆☆

2024·四川达州

如图，OC 在 ∠AOB 内部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。若 ∠AOB = 80°，则 ∠DOE =（　）

A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

答案：C（40°）

∠DOE = ½∠AOB = ½ × 80° = 40°。
⚠️ 模型直用题，3 秒出答案；没背住就现场拆：∠DOC + ∠COE = ½(∠AOC + ∠BOC)。

第 2 关填空题两半角相加★★☆☆☆

2024·四川达州

如图，OC 在 ∠AOB 内部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。若 ∠AOC = 70°，∠BOC = 50°，则 ∠DOE = ______°。

答案：60

∠DOE = ∠DOC + ∠COE = ½×70° + ½×50° = 35° + 25° = 60°。
⚠️ 也可以先合再大角：∠AOB = 120°，一半是 60° —— 两条路互为验算。

第 3 关填空题OC 在外★★★☆☆

2024·四川达州

如图，OC 在 ∠AOB 外部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。若 ∠AOB = 50°，∠BOC = 30°，则 ∠DOE = ______°。

答案：25

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 80° ⟹ ∠DOC = 40°，∠COE = 15°；OC 在外，夹角取差：∠DOE = 40° − 15° = 25° —— 还是 ½∠AOB。
⚠️ 易错：看见「外部」就慌 —— 口诀「内和外差都一半」，差的结构别算成 40+15。

第 4 关填空题平角出垂直★★★☆☆

2024·四川达州

如图，A、O、B 在同一直线上，OC 是任意射线，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC，则 ∠DOE = ______°。

答案：90

∠AOB = 180°（平角）⟹ ∠DOE = ½ × 180° = 90°，即 OD ⊥ OE。
⚠️ 这就是「邻补角的两条平分线互相垂直」—— 反过来还能用来证垂直：要证两线垂直，指出它们是一对邻补角的平分线即可。

第 5 关解答题结论证明★★★★☆

2024·四川达州

如图，OC 在 ∠AOB 内部，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。求证：∠DOE = ½∠AOB。

证明（两半角拼合）

∵ OD 平分 ∠AOC，∴ ∠DOC = ½∠AOC；
∵ OE 平分 ∠BOC，∴ ∠COE = ½∠BOC；
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = ½∠AOC + ½∠BOC = ½(∠AOC + ∠BOC) = ½∠AOB。
⚠️ 书写骨架就是「平分定义 ×2 → 相加 → 提公因数 ½ → 拼回大角」四步，缺一不可。

第 6 关探究题不变量与逆用★★★★★

2024·四川达州

∠AOB = 120°，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠BOC。
（1）OC 在 ∠AOB 内部任意转动时，∠DOE = ______°；
（2）若某时刻发现 OD ⊥ OE，则此时 ∠AOB = ______°；
（3）OC 转到 ∠AOB 外部且 ∠BOC = 40° 时，∠DOE = ______°。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）60（2）180（3）60

（1）∠DOE = ½ × 120° = 60°，与 C 的位置无关（不变量）；
（2）OD ⊥ OE ⟹ ∠DOE = 90° ⟹ ∠AOB = 2 × 90° = 180° —— 结论逆用；
（3）外部情形取差：∠DOC = ½ × 160° = 80°，∠COE = ½ × 40° = 20°，∠DOE = 80° − 20° = 60° —— 依然是大角的一半。
⚠️ （3）是最狠的一问：位置变了结论没变 —— 这才叫「模型」。